Pi greco e il gioco delle monete: quando l’informazione è infinita

Osservate la sequenza di numeri presentata sotto. Esiste una qualche regolarità in questa sequenza? In altre parole, qualcuno è in grado, solamente sulla base dei valori presentati, di predirne il valore successivo?

2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, 20, 18, 28, 5, 10, 12, 36, 12, 20

Finora io non ho trovato alcuna regolarità. In un mio articolo precedente ho mostrato come informazioni di questo tipo non siano “comprimibili”. In altre parole non possiamo sostituire l’intera sequenza di numeri con una sua porzione o con una formula matematica. Non esiste un modo più breve per comunicare quest’informazione se non riportandola per intero.

Passiamo apparentemente ad altro e facciamo un gioco. Prendete tre monete uguali e mettetele in pila, tutte rivolte con la testa verso l’alto. Ora voltate la prima moneta e rimettetela in pila. Quindi prendete le prime due monete e voltatele come se fossero una sola (tenendole insieme), rimettendole nuovamente sulla pila. Quindi fate lo stesso con tutte e tre le monete. È facile immaginare che l’ordine iniziale, secondo cui tutte le monete erano rivolte con la testa verso l’alto, verrà in questo modo sconvolto.

Quante volte è necessario ripetere tutta la sequenza di operazioni (la sequenza va riprodotta per intero, non ci si può fermare a metà) per far sì che le monete ritornino alla disposizione iniziale? È sufficiente fare alcune prove per scoprire che occorrono 3 sequenze complete per riavere le monete orientate tutte allo stesso modo. Se estendiamo il gioco a un numero qualsiasi di monete, intuitivamente si potrebbe pensare che il valore risultante aumenti progressivamente con l’aumentare delle monete, in modo prevedibile. Invece non è così: si ottiene esattamente l’elenco presentato all’inizio, completamente irregolare e potenzialmente illimitato. L’unico modo per ottenere il valore successivo è di eseguire il gioco (magari facendosi aiutare da un semplice programma per calcolatore).

Ma allora, potrebbe dire qualcuno, l’elenco precedente è comunque rappresentabile in altro modo (e quindi comprimibile): basta sostituire a esso il programma per calcolatore che ricava la sequenza (in effetti ne vale la pena solamente se l’elenco comincia a essere piuttosto lungo). Possiamo quindi comunicare questo elenco senza doverlo riportare per intero, ma semplicemente indicando la procedura (l’algoritmo) per ottenerlo.

Un esempio analogo è dato dai decimali di pi greco. Tutti sappiamo che sono infiniti e non mostrano alcuna struttura ricorrente:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944…

Le ultime notizie di cui sono a conoscenza parlano di due ricercatori dell’università di Tokyo che sono arrivati a calcolare 51 miliardi (51.000.000.000) di cifre decimali, ma probabilmente tale record è già stato superato. Come possiamo rappresentare questo insieme infinito di informazioni? Possiamo farlo usando la matematica, perché pi greco è ottenibile, oltre che come rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio, anche come soluzione di una formula piuttosto semplice:

p = 4(1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 +…)

Esistono altri metodi per eseguire questi calcoli e ci sono studiosi meglio attrezzati di noi in grado di elaborare tali operazioni estremamente lunghe. Il fatto interessante è che nessuno arriverà mai alla fine di questo compito infinito, ed esistono persino movimenti che si oppongono a tale attività (come la MAWOD, Motion Against Writing Out Decimals). Ma questo non ci impedisce di usare e comunicare il valore di p, senza timore di incomprensione o di aver trascurato parte dell’informazione.

Quelli presentati sopra sono solo due casi, ma esemplificativi del fatto che molte volte ci troviamo di fronte a informazioni potenzialmente infinite. Per fare ancora un esempio, si pensi a un calendario perpetuo. Teoricamente il tempo non ha termine, quindi possiamo immaginare un calendario che si estenda indefinitamente in avanti nel tempo. Questo oggetto non è ovviamente rappresentabile in modo esplicito, ma possiamo servircene per determinare che giorno della settimana sarà il 25 dicembre di un anno qualsiasi. Esistono regole matematiche molto semplici per ottenere questa informazione.

Niente paura quindi. Nonostante gli strumenti a nostra disposizione per memorizzare e rappresentare le informazioni siano inesorabilmente limitati, potremmo sempre affacciarci alla dimensione irrazionale dell’infinito.

Collegamenti

• Per una breve storia del calcolo di pi greco, http://www.csolve.net/~markus/mmmpi.html.
• Per avere i primi 2000 decimali di pi greco http://www.geocities.com/TelevisionCity/Studio/2300/pi.html
• Per scaricare più di un milione di cifre decimali di pi greco, calcolate da Scott Hemphill in alcuni giorni di elaborazione, collegarsi con ftp anonimo al sito ftp://wuarchive.wustl.edu/doc/misc/pi/ e scaricare i file pi.doc.Z e pi.dat.Z.
• Il manifesto di MAWOD, http://geecs.org/~sigma/mawod.