È vero che nascono più bambini maschi?

Due opinioni, tanti bambini, nessuna certezza. Che ne dici?

In un certo Paese, in un certo anno, nascono un milione di bambini: 501.200 maschi e 498.800 femmine. Sappiamo che, in teoria, il rapporto tra maschi e femmine dovrebbe essere di uno a uno, ma ovviamente non ci aspettiamo che il numero esatto sia 500.000 per ciascun sesso. Ci sarà sempre una certa variazione casuale.

Ma una percentuale di bambini maschi pari al 50,12 per cento indica davvero la tendenza secondo cui nascono più maschi? Oppure una differenza di 2.400 bambini in un milione è semplicemente un’oscillazione statistica inevitabile? In altre parole, un tasso di natalità del 50,12 per cento contro il 49,88 per cento è compatibile con un rapporto paritario?

La risposta è sì ma anche no

Per trovare una risposta, possiamo dividere gli statistici in due gruppi: bayesiani e frequentisti. E qui arriva la vera sorpresa: le due scuole di pensiero non concordano sulla risposta.

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I bayesiani sostengono che, anche ipotizzando una distribuzione perfettamente equilibrata tra maschi e femmine, è altamente probabile – secondo il loro metodo di analisi – che, in un qualsiasi Paese e in un qualsiasi anno, si verifichi una deviazione come quella osservata, cioè un rapporto del 50,12 per cento contro il 49,88 per cento. Pertanto, secondo loro, la deviazione è casuale e il tasso di natalità osservato conferma l’ipotesi che i maschi rappresentino metà delle nascite.

I frequentisti, invece, ragionano in modo diverso. Secondo il loro approccio, la probabilità che un eccesso di 2.400 bambini maschi si verifichi per puro caso, se il vero rapporto fosse 50 e 50, è molto bassa. Di conseguenza, rifiutano l’ipotesi che questa deviazione sia casuale e non accettano l’idea che la proporzione reale sia effettivamente di uno a uno.

Un vero paradosso!

Culla in una nursery. Fonte: archivio RIA Novosti, immagine n. 450919/V. Yakovlev/CC-BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:RIAN_archive_450919_Maternity_Home_in_Yakutsk.jpg.

Il problema fu segnalato per la prima volta nel 1939 dallo statistico britannico Sir Harold Jeffreys, che ne parlò in un manuale di statistica. Tuttavia, il dibattito esplose quasi vent’anni dopo, nel 1957, quando lo statistico di Cambridge Dennis Lindley pubblicò un articolo intitolato A Statistical Paradox (Un paradosso statistico).

Al centro di questo dilemma c’è un teorema formulato nel XVIII secolo da Thomas Bayes (1701-1761). I bayesiani confrontano un’ipotesi H₀ con un’ipotesi alternativa H₁. Inizialmente, si considera che entrambe siano con una certa probabilità vere – per esempio, 25 per cento per H₀ e 75 per cento per H₁. Ma con l’accumularsi di nuove evidenze, le probabilità devono essere aggiornate: se emergono sempre più dati a favore di H₁, la sua probabilità aumenta, o viceversa. Bayes sviluppò un’equazione per calcolare come le probabilità devono essere aggiornate a mano a mano che si ottengono nuove informazioni.

Lindley, nel suo articolo A Problem in Forensic Science (Un problema nella scienza forense), propose un esempio interessante di questo paradosso: durante un’indagine su un furto con scasso, vennero trovate delle schegge di vetro sui vestiti del sospettato. La domanda era: l’indice di rifrazione di queste schegge corrisponde a quello della finestra rotta durante il furto? A seconda che il tribunale adottasse l’approccio frequentista o quello bayesiano, il sospettato poteva risultare colpevole o innocente.

Soluzione

Approccio bayesiano

L’approccio bayesiano parte dall’idea che, prima di contare i bambini nati, ci sia una probabilità del 50 per cento che l’ipotesi H₀ sia vera (il rapporto reale tra maschi e femmine è esattamente 50 e 50) e una probabilità del 50 per cento che sia vera l’ipotesi alternativa H₁ (il rapporto reale può essere qualsiasi valore). Se fosse valida l’ipotesi H₁, allora ogni possibile rapporto tra maschi e femmine, tra 0 per cento e 100 per cento, sarebbe ugualmente probabile.

Una volta determinata la proporzione effettiva (501.200 maschi contro 498.800 femmine), i bayesiani aggiornano la probabilità che H₀ sia corretta. Secondo la formula di Bayes (che vedremo nel dettaglio più avanti), la probabilità di H₀ viene aggiornata da 50 e 50 a 98 contro 2. Significa che, tenendo conto del dato osservato, c’è il 98 per cento di probabilità che il rapporto reale tra maschi e femmine sia effettivamente 50 e 50, anche se il valore osservato è 50,12 per cento contro 49,88 per cento. Per questo motivo, i bayesiani accettano l’ipotesi che il rapporto reale sia paritario.

Approccio frequentista

L’approccio frequentista segue un ragionamento diverso: il rapporto tra maschi e femmine segue una cosiddetta distribuzione binomiale, che per grandi numeri è simile alla classica distribuzione normale a campana. Questo implica che il 68 per cento dei casi rientra in una deviazione standard dalla media e il 95 per cento in due deviazioni standard (per approfondire la questione, invito a consultare un qualsiasi manuale introduttivo di statistica).

Ora, la varianza di una distribuzione binomiale con un milione di bambini è 250.000, quindi la deviazione standard è 500. Un surplus di 1.200 bambini maschi rispetto all’atteso – che equivale a una deviazione di 2,4 deviazioni standard rispetto ai 500.000 previsti – è un evento raro: si verifica solo nell’1,6 per cento dei casi. Di conseguenza, i frequentisti ritengono che i dati osservati siano incompatibili con l’ipotesi di un rapporto perfettamente paritario tra maschi e femmine.

Perché i due metodi danno risposte diverse

I bayesiani considerano che il risultato 50,12 per cento contro 49,88 per cento sia comunque molto vicino a 50 per cento contro 50 per cento e quindi concludono che i dati confermano l’ipotesi di una distribuzione equa.

George Szpiro guida i lettori attraverso l’enigmatico mondo dei paradossi, dai dialoghi socratici al problema di Monty Hall, presentando sessanta enigmi controintuitivi in diversi ambiti: non solo matematica, statistica, logica e filosofia, ma anche scienze sociali, fisica, politica e religione.

I frequentisti, invece, adottano un approccio più ampio: confrontano il dato osservato (50,12 per cento contro 49,88 per cento con tutte le possibili proporzioni tra 0 per cento e 100 per cento e concludono che il valore 50 e 50 non spiega bene il risultato osservato. Per esempio, una proporzione di 50,05 per cento di maschi contro 49,95 per cento di femmine sarebbe una spiegazione più plausibile. Forse questa è la proporzione giusta di maschi e femmine? Oppure potrebbe essere 50,20 per cento contro 49,80 per cento? In generale, i frequentisti tendono a rifiutare un’ipotesi specifica con più facilità rispetto ai bayesiani.

Per saperne di più…

P(A) indica la probabilità dell’evento A, mentre P(A|B) rappresenta la probabilità di A dato B. Quando si acquisisce una nuova evidenza B, i bayesiani aggiornano le probabilità secondo il teorema di Bayes:

La teoria delle combinazioni afferma che:

Inoltre:

L’aggiornamento viene effettuato con l’aiuto del teorema di Bayes:

Assegnando a H₀ una probabilità a priori di ½ e inserendo i valori nella formula, otteniamo:

P(H₀|501.200) = 0,98.

Questo articolo richiama contenuti da I paradossi del nostro tempo.

Immagine originale di Tommaso Pecchioli su Unsplash.