Prefazione

"La teoria della probabilità è, al fondo, semplice buon senso tradotto in calcolo; ci fa valutare con esattezza ciò che una mente ragionevole sente per una sorta di istinto... È degno di nota che questa scienza, nata a servizio dei giochi d'azzardo, sia diventata il più importante oggetto della conoscenza umana... Le più importanti questioni della vita sono, per la maggior parte, solo dei problemi di probabilità." Così scriveva due secoli fa il grande matematico e astronomo francese Pierre Simon De Laplace, uno dei fondatori della teoria delle probabilità. Anche se molti possono ritenere esagerato il commento di Laplace, la teoria delle probabilità è diventata uno strumento di importanza fondamentale per quasi tutti gli scienziati, ingegneri, medici, giuristi e operatori aziendali.

Questo libro presenta in forma chiara e accessibile i concetti fondamentali della teoria delle probabilità. Il testo, che presuppone la conoscenza del calcolo infinitesimale, si rivolge in particolare agli studenti delle facoltà di Ingegneria, Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali, Scienze Statistiche ed Economia. Il libro non si limita a presentare l'aspetto matematico della teoria delle probabilità, ma cerca anche di illustrare, attraverso numerosi esempi, le più disparate applicazioni di questa teoria.

Nel Capitolo 1 presentiamo i principi di base dell'analisi combinatoria, uno tra gli strumenti più utili per il calcolo delle probabilità.

Nel Capitolo 2 enunciamo gli assiomi della teoria delle probabilità e mostriamo come essi si possano applicare per calcolare diverse probabilità di interesse.

Il Capitolo 3 tratta l'argomento, estremamente importante, della probabilità condizionata e dell'indipendenza degli eventi. Illustriamo, attraverso una serie di esempi, non solo come le probabilità condizionate intervengano quando è disponibile una informazione parziale, ma anche come esse siano uno strumento che permette di calcolare le probabilità più facilmente, senza disporre necessariamente di una informazione parziale. La tecnica di ottenere le probabilità "condizionando" rispetto a un evento riappare nel Capitolo7, dove la usiamo per calcolare i valori attesi.

Nei Capitoli 4, 5 e 6 introduciamo il concetto di variabile aleatoria. Le variabili aleatorie discrete sono trattate nel Capitolo 4, quelle continue nel Capitolo 5 e le variabili aleatorie congiunte nel Capitolo 6. I concetti fondamentali di valore atteso e di varianza di una variabile aleatoria sono introdotti nei Capitoli 4 e 5; tali valori vengono poi calcolati per molti tipi comuni di variabili aleatorie.

Ulteriori proprietà del valore atteso sono considerate nel Capitolo 7. Molti esempi illustrano l'utilità del fatto che il valore atteso di una somma di variabili aleatorie sia la somma dei loro valori attesi. Le sezioni sul valore atteso condizionato, che comprendono il suo utilizzo nella predizione, e le funzioni generatrici dei momenti, sono contenute in questo capitolo. Inoltre, la sezione finale introduce la distribuzione normale multivariata e presenta una dimostrazione semplice riguardante la distribuzione congiunta della media campionaria e della varianza campionaria da un campione di distribuzioni normali.

Nel Capitolo 8 presentiamo i maggiori risultati teorici del calcolo delle probabilità: la legge forte dei grandi numeri e il teorema del limite centrale. La dimostrazione della legge forte dei grandi numeri presente nel libro è abbastanza semplice, essendo richiesto che le variabili ammettano momento di ordine quattro finito. Quella del teorema del limite centrale utilizza invece il teorema di continuità di Paul Levy, che non viene dimostrato. Inoltre in questo capitolo presentiamo le disuguaglianze di Markov e di Chebyshev e i limiti di Chernoff. L'ultima sezione del capitolo è invece dedicata alla determinazione di un limite dell'errore che si commette approssimando le probabilità relative a una somma di variabili di Bernoulli indipendenti con le corrispondenti probabilità per una variabile di Poisson che abbia il medesimo valore atteso.

Il Capitolo 9 presenta alcuni ulteriori argomenti, come le catene di Markov, il processo di Poisson e una rapida introduzione alla teoria dell'informazione e dei codici. Nel Capitolo 10 viene infine introdotto il tema della simulazione.

Le sezioni indicate con un asterisco sono da considerare opzionali e possono essere saltate senza compromettere la comprensione.

La sesta edizione continua l'evoluzione e il raffinamento del testo avviati nelle edizioni precedenti. Vi sono molti nuovi esercizi ed esempi; tra questi ultimi citiamo quelli sull'utilità (Esempio 4c del capitolo 4), sull'approssimazione normale (Esempio 4i del Capitolo 5), sull'applicazione della distribuzione lognormale alla finanza (Esempio 3d del Capitolo 6) e sulla collezione di figurine ciascuna delle quali ha una diversa probabilità di essere acquistata (Esempio 2v del Capitolo 7). Nel Capitolo 7 vi sono anche delle nuove sottosezioni (che si possono omettere in prima lettura) riguardanti il metodo probabilistico (Sottosezione 7.2.1) e l'identità dei massimi e minimi (Sottosezione 7.2.2).

Come nella precedente edizione, alla fine di ogni capitolo sono presenti tre gruppi distinti di esercizi: gli Esercizi, gli Esercizi teorici e gli Esercizi di autovalutazione. Quest'ultimo gruppo, la cui soluzione completa è riportata nell'Appendice B, è dedicato appositamente agli studenti in vista della loro preparazione per gli esami.

Tutto il materiale incluso nel floppy disk "Probability Models" delle precedenti edizioni si può ora scaricare dal sito web del testo all'indirizzo

www.apogeonline.com/libri/88-503-2231-3/scheda

Utilizzando questo software gli studenti potranno effettuare calcoli e simulazioni nelle seguenti aree.

• Tre moduli sono dedicati alla determinazione delle probabilità per, rispettivamente, le variabili binomiali, di Poisson e normali.
• Un altro modulo illustra invece il teorema del limite centrale. Partendo da variabili che assumono i valori 0, 1, 2, 3, 4, il software permette di inserire le probabilità con cui questi valori vengono assunti e il valore del parametro n. Il modulo quindi disegna il grafico della densità discreta della somma di n variabili aleatorie indipendenti con tale legge. Facendo aumentare n si può "vedere" che la densità discreta converge alla forma della densità di una variabile aleatoria normale.
• Gli ultimi due moduli illustrano la legge dei grandi numeri. Di nuovo l'utente inserisce le probabilità con cui una data variabile aleatoria assume i 5 possibili valori e il parametro n. Il programma quindi utilizza il generatore di numeri casuali per simulare n variabili aleatorie aventi tale legge. Il modulo quindi disegna il grafico del numero di volte che ogni singolo esito elementare viene ottenuto assieme con la media aritmetica di tutti questi valori. La differenza tra i due moduli si riferisce alla forma nella quale visualizzano i risultati.

Vorrei ringraziare le persone che hanno letto con attenzione le più recenti edizioni del libro e che mi hanno dato utili suggerimenti: Anastasia Ivanova, University of North Carolina; Richard Bass, University of Connecticut; Ed Wheeler, University of Tennessee; Jean Cadet, State University of New York at SUNY, Stony Brook; Jim Propp, University of Wisconsin; Mike Hardy, Massachusetts Institute of Technology; Anant Godbole, Michigan Technical University; Zakkula Govindarajulu, University of Kentucky; Richard Groeneveld. Iowa State University; Bernard Harris, University of Wisconsin; Stephen Herschkorn, Rutgers University; Robert Keener, University of Michigan; Thomas Liggett, University of California, Los Angeles; Bill McCormick, University of Georgia e Kathryn Prewitt, Arizona State University. Un particolare ringraziamento a Hossein Hossein Hamedani, Marquette University e Ben Perles per il loro duro lavoro di controllo del manoscritto.

Esprimo anche gratitudine a coloro i quali hanno letto con attenzione le precedenti edizioni: Thomas R. Fischer, Texas A & M University; Jay DeVore, California Polytechnic University, San Luis Obispo; Robb J. Muirhead, University of Michigan; David Heath, Cornell University; Myra Samuels, Purdue University; I.R. Savage, Yale University; R. Miller, Stanford University; K.B. Athreya, Iowa State University; Phillip Beckwith, Michigan Tech; Howard Bird, St. Cloud State University; Steven Chiappari, Santa Clara University; James Clay, University of Arizona at Tucson; Francis Conlan, University of Santa Clara; Fred Leysieffer, Florida State University; Ian McKeague, Florida State University; Helmut Mayer, University of Georgia; N.U. Prabhu, Cornell University; Art Schwartz, University of Michigan at Ann Arbor; Therese Shelton, Southwestern University e Allen Webster, Bradley University.

S. R.

smross@newton.me.berkeley.edu