3.1 Somma di matrici e prodotto scalare

(Basato sul Paragrafo 3.1 di Strumenti quantitativi per la gestione aziendale, volume 1)

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Alcune risorse online per questo argomento:


(La trattazione seguente è basata sul Paragrafo 3.1 di Strumenti quantitativi per la gestione aziendale, volume 1)

Una matrice è semplicemente una tabella ("griglia") di numeri. Eccone alcune.

1
0
5
0
0
1
,    
-4
0
5
-1
0
1
1
5
-3
0
0
1
,    
1
-4
12
,     [2   -10   -1] ,    
1
1
5
- 7
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Per specificare la dimensione di una matrice, dobbiamo parlare di righe e colonne:
1 5 -7
1 1  0
0 0  1
0 0  0
Le righe sono orizzontali
       
1
1
0
0
5
1
0
0
-7
0
1
0
Le colonne sono verticali
   

La matrice precedente ha 4 righe e 3 colonne; ci riferiamo a essa come matrice 43. Ecco la definizione generale tratta da Strumenti quantitativi per la gestione aziendale.

Matrice, dimensioni, elementi

Una matrice mn A è una tabella rettangolare di numeri reali con m righe e n colonne. Ci riferiamo a m e n come alle dimensioni della matrice A. I numeri che appaiono nella matrice sono i suoi elementi. Come nomi delle matrici utilizziamo abitualmente lettere maiuscole A, B, C, ... .

Esempio

      1  
      0  
      5  
    0
    0
    1
    		è una matrice

Gli elementi della prima riga sono 1, 0 e 5. Gli elementi della seconda colonna sono 0 e 0.

Indicare gli elementi di una matrice

Esiste un modo sistematico per indicare gli elementi di una matrice. Se i e j sono numeri, allora l'elemento che si trova nella iesima riga e jesima colonna della matrice A è chiamato ijesimo elemento di A. Normalmente scriviamo questo elemento come aij o Aij (se la matrice si chiamasse B, scriveremmo il suo ijesimo elemento come bij o Bij.) Notate che il numero della riga è specificato per primo, quello della colonna per secondo.

Esempio

    Sia A =
      1  
      3  
      5  
    -1
    -8
    10
    -7
    -5
    13
    		.

    a21 = -1 Elemento in Riga 2 e Colonna 1
    a13 =  
    a31 =  
    a23 =  
    a22 =  

 

Somma e differenza di matrici

Due matrici possono essere sommate (o sottratte) se e solo se hanno le stesse dimensioni (ovvero, le due matrici hanno un numero corrispondente di righe e di colonne. Non potete sommare, ad esempio, una matrice 34 con una 44, ma potete sommare due matrici 34).

Per sommare (o sottrarre) due matrici delle stesse dimensioni, sommate (o sottraete) semplicemente gli elementi corrispondenti. In altre parole, se A e B sono matrici mn, allora A+B e A-B sono le matrici mn i cui elementi sono dati da

Esempi

Una matrice tutti i cui elementi sono zero è chiamata matrice di zeri. Ecco alcune matrici di zeri.

0
0
0
0
0
0
,    
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,    
0
0
0
,     [0   0   0] ,    
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

SianoA=
  1  
  3  
  5  
-1
-8
10
-7
-5
13
  e   B=
  0  
  0  
  0  
0
0
0
0
0
0

D Allora A + B =

Prodotto scalare

È consuetudine, parlando di matrici, chiamare scalari i singoli numeri. Per questo motivo chiamiamo prodotto scalare l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero.

Per motivare il prodotto scalare, considerate quanto segue.

D Quando una matrice A può essere sommata a sé stessa?
R Sempre, perché l'espressione A+A rappresenta la somma di due matrici che hanno sicuramente le stesse dimensioni.

D Non possiamo scrivere A+A come 2A?
R Possiamo certamente. Notate che, quando calcoliamo A+A, raddoppiamo ogni elemento di A. Quindi, possiamo pensare che l'espressione 2A ci indichi di moltiplicare ogni elemento di A per 2.

Similmente, 6A è la matrice ottenuta moltiplicando per 6 tutti gli emementi di A. Più generalmente, se c è un numero qualsiasi, allora cA ("c volte A") è la matrice ottenuta da A moltiplicando ciascuno dei suoi elementi per c.

Esempi

Algebra matriciale

La somma e il prodotto scalare di matrici seguono regole simili a quelle valide per la somma e il prodotto di numeri reali.

Proprietà della somma di matrici e del prodotto scalare

Se A, B e C sono matrici mn, e se O è la matrice di zeri mn, allora vale quanto segue.

A+(B+C) = (A+B)+C  Proprietà associativa
A+B = B+A   Proprietà commutativa
A+O = O+A =   Elemento identità per la somma
A+(-A) = (-A)+A =   Elemento inverso per la somma
c(A+B) = cA+   Proprietà distributiva
(c+d)A =   Proprietà distributiva
1A =   Elemento identità per il prodotto scalare
0A =   Prodotto per lo scalare nullo

D E il prodotto di due matrici?
R Per questo occorre attendere fino al prossimo paragrafo (fate clic su "Esercitazione successiva" nel menu laterale se siete impazienti).

D OK, le proprietà elencate sono molto interessanti, ma come possiamo applicarle?
R L'algebra matriciale può essere applicata in un enorme numero di situazioni. Eccone solo una.

La tabella seguente fornisce il numero delle persone (in migliaia) che hanno visitato L'Australia e il Sudafrica nel 1998.*

DA             AAustralia Sudafrica
Nord America440190
Europa950950
Asia1,790200

* Le cifre sono arrotondate alle decine di migliaia. Fonti: South African Dept. of Environmental Affairs and Tourism; Australia Tourist Commission/The New York Times, 15 gennaio 2000, p. C1.

Sia A la matrice 32 i cui elementi sono le cifre relative al turismo del 1998.

D Avete previsto che le cifre del 2008 saranno date da 1.2A. Questo significa che, nel 2008, le cifre del turismo saranno

D Se la matrice B rappresenta le corrispondenti cifre del turismo per il 2008, allora la matrice B-A rappresenta

D Sia D la matrice
-40
0
50
100
-300
0

Vi è stato detto che le cifre del turismo nel 2004 saranno date dalla matrice A+D. L'elemento -300 vi dice che

Ora provate alcuni degli esercizi del Paragrafo 3.1 di Strumenti quantitativi per la gestione aziendale, Volume 1.

Ultimo aggiornamento: aprile 2000
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